题目

题型：0107 模拟题难度：来源：

设椭圆C：的离心率e=，右焦点到直线的距离，O为坐标原点，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值。

答案

解：（Ⅰ）由得，即a=2c，∴，
由右焦点到直线的距离为，得：，解得，
所以椭圆C的方程为。
（Ⅱ）设，直线AB的方程为y=kx+m，
与椭圆联立消去y得，
，
∵OA⊥OB，∴，
∴，
即，
∴，整理得，
所以O到直线AB的距离，
∵OA⊥OB，
∴，当且仅当OA=OB时取“=”号。
由得，
∴，即弦AB的长度的最小值是。