题目

题型：模拟题难度：来源：

已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为4(+1)。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，
(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明k₁·k₂=1；
(3)是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

答案

解：(1)由题意知，椭圆离心率为，
则，
又，所以可解得，
所以c²=4，
所以椭圆的标准方程为；
所以椭圆的焦点坐标为(±2，0)，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，
所以该双曲线的标准方程为。
(2)设点P(x₀，y₀)，则，
所以，
又点P(x₀，y₀)在双曲线上，所以有，
即，所以；
(3)假设存在实数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立，
则由(2)知k₁·k₂=1，所以设直线AB的方程为y=k(x+2)，
则直线CD的方程为，
由方程组，消y得：，
设，
则由韦达定理得：，
所以，
同理可得，
又因为|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|，
所以有，
所以存在常数，使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立．