题目

题型：同步题难度：来源：

如图，在直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，AD∥BC，AB=4，BC=3，AD=1，以A，B为焦点的椭圆经过点C。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点E（0，1），问是否存在直线l与椭圆交于M，N两点且|ME|=|NE|，若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）连接AC，依题意设椭圆的标准方程为
在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，
∴AC=5
∴CA+CB=5+3=2a，a=4
又2c=4，
∴c=2，从而b=，
∴椭圆的标准方程为。
（2）由题意知，当l与x轴垂直时，不满足|ME|=|NE|，当l与x轴平行时，|ME|=|NE|显然成立，此时k=0
设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）
由消去y得
（3+4k²）x²+8kmx+4m²-48=0，
∵Δ=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-48）>0，
∴16k²+12>m²，①
令M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为F（x₀，y₀）
则
∵|ME|=|NE|，
∴EF⊥MN，
∴k_EF×k=-1
即
化简得m=-（4k²+3），
结合①得16k²+12>（4k²+3）²，
即16k⁴+8k²-3＜0，
解之得（k≠0）
综上所述，存在满足条件的直线l，且其斜率k的取值范围为。