题目
题型:同步题难度:来源:
(1)求动点R的轨迹E的方程;
(2)过曲线E的右焦点F作直线l交曲线E于M、N两点,交y轴于P点,且记=λ1,=λ2,求证:λ1+λ2为定值.
答案
由题意可知y0≠0,且以H为切点的圆的切线的斜率为:-,
故切线方程为:y-y0=-(x-x0),
展开得x0x+y0y=x02+y02=4,
即以H为切点的圆的切线方程为:x0x+y0y=4,
∵A(-2,0),B(2,0),
将x=±2代入上述方程可得点C,D的坐标分别为C(-2,),D(2,),
则lAD:,①,
及lBC:,②
将两式相乘并化简可得动点R的轨迹E的方程为:x2+4y2=4,即+y2=1。
(2)由(1)知轨迹E为焦点在x轴上的椭圆且其右焦点为F(,0),
(ⅰ)当直线l的斜率为0时,M、N、P三点在x轴上,
不妨设M(2,0),N(-2,0),且P(0,0),
此时有|PM|=2,|MF|=2-,|PN|=2,|NF|=2+,
所以λ1+λ2=;
(ⅱ)当直线l的斜率不为0时,设直线MN的方程是:x=my+(m≠0),
则点P的坐标为(0,-),
且设点M(x1,y1),N(x2,y2),
联立消去x可得:(m2+4)y2+2my-1=0,
则y1+y2=,y1y2=,
λ1+λ2==-8(定值).
核心考点
试题【如图,过圆x2+y2=4与x轴的两个交点A、B,作圆的切线AC、BD,再过圆上任意一点H作圆的切线,交AC、BD于C、D两点,设AD、BC的交点为R, (1)求】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆C的方程;
(2)椭圆C上一动点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1 (x1,y1),求3x1-4y1的取值范围.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)点O是坐标原点,过点C的直线与点P的轨迹交于A,B两点,求的取值范围。
(2)设动点P满足:,其中M,N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-。问:是否存在两个定点F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值?若存在,求F1,F2的坐标;若不存在,说明理由。
(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程;
(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A、B,且?若存在,求出该圆的方程;若不存在,说明理由。
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A、B两点,其中点A在x轴下方,且,求过O、A、B三点的圆的方程.
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