题目

题型：河北省期末题难度：来源：

已知椭圆C的中心在原点，F₁、F₂分别为它的左、右焦点，直线x=4为它的一条准线，又知椭圆C上存在点M，使得，
(1)求椭圆C的方程；
(2)若PQ为过椭圆焦点F₂的弦，且，求△PF₁Q的内切圆面积最大时实数λ的值．

答案

解：(1)据题意，设椭圆C的方程为，，
∵直线x=4为椭圆C的准线，
∴，
又，
∴M为椭圆C短轴上的顶点，
∵，
∴，
∴∠F₁MF₂=60°，则△F₁MF₂为等边三角形，
∴， 故a²=4c=2a，
∴a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=2²-1²=3，
∴椭圆C的方程为。
(2)显然直线PQ不与x轴重合，当PQ与x轴垂直，
即直线PQ斜率不存在时，，
∴；
当直线PQ斜率存在时，设它的斜率为k，则直线PQ的方程为y=k(x-1)(k≠0)，
代入椭圆C的方程，消去x并整理得：(4k²+3)y²+6ky-9k²=0，
Δ=36k²+36k²(4k²+3)＞0，
设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则，
∴，
设4k²+3=t，则t＞3，此时，
又∵F₁到直线PQ的距离，
∴，
，
∴0＜＜3，
综上，直线PQ与x轴垂直时，△PF₁Q的面积最大，且最大面积为3，
设△PF₁Q的内切圆半径为r，
则=4r，
∴，即时，△PF₁Q的内切圆面积最大，
此时直线PQ的斜率不存在，直线PQ与x轴垂直，
∴，即λ=1。