题目

题型：0113 期末题难度：来源：

已知椭圆C：的离心率为，其左、右焦点分别为F₁，F₂，点P是坐标平面内一点，且|OP|=，（O为坐标原点）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点且斜率为k的动直线交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由。

答案

解：（1）设
则由得
由得
即
所以c=1
又因为
所以
因此所求椭圆的方程为：。
（2）动直线l的方程为：
由得
设
则
假设在y上存在定点M（0，m），满足题设，则

由假设得对于任意的恒成立
即解得m=1
因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）。