题目

题型：北京期末题难度：来源：

已知椭圆C：（a>b>0）两个焦点之间的距离为2，且其离心率为。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若F为椭圆C的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满足，求△ABF外接圆的方程。

答案

解：（1）∵2c=2，
∴c=1，
∴
椭圆C的标准方程是。
（2）由已知可得B（0，1），F（1，0），
设A（x₀，y₀），则，
∵
∴x₀-（y₀-1）=2，即x₀=1+y₀，
代入，得或
即A（0，-1）或
当A为（0，-1）时，|OA|=|OB|=|OF|=1，
△ABF的外接圆是以O为圆心，以1为半径的圆，该外接圆的方程为x²+y²=1；
当A为时，k_BF=-1，k_AF=1，
所以△ABF是直角三角形，其外接圆是以线段BA为直径的圆，
由线段BA的中点以及可得△ABF的外接圆的方程为
综上所述，△ABF的外接圆的方程为x²+y²=1或。