题目

题型：江西省模拟题难度：来源：

已知椭圆C：（a>b>0）的左右焦点分别是F₁（-c，0），F₂（c，0），动直线l：x=my+c与椭圆C交于两点M，N，当时，M是椭圆C的上顶点，且△MF₁F₂的周长为6。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左顶点为A，直线AM，AN与直线：x=4分别相交于点P，Q，问当m变化时，以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由。

答案

解：（1）当时，直线的倾斜角为120°，
所以
解得a=2，c=1
所以椭圆方程是。
（2）当m=0时，直线l的方程为x=1．此时，M，N点的坐标分别是，
又A点坐标是（-2，0），由图可以得到P，Q两点坐标分别是（4，3），（4，-3），
以PQ为直径的圆过右焦点，被x轴截得的弦长为6，
猜测当m变化时，以PQ为直径的圆恒过焦点F₂，被x轴截得的弦长为定值6，
证明如下：
设点M，N点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
则直线AM的方程是
所以点P的坐标是
同理，点Q的坐标是
 由方程组得3（my+1）²+4y²=12（3m²+4）y²+6my-9=0
所以
从而



 所以，以PQ为直径的圆一定过右焦点F₂，被x轴截得的弦长为定值6。