题目

题型：模拟题难度：来源：

设椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中：

（1）求C₁，C₂的标准方程；
（2）设直线l与椭圆C₁交于不同两点M，N，且，请问是否存在这样的直线l过抛物线C₂的焦点F？若存在，求出直线L的方程；若不存在，说明理由．

答案

解：（1）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），
则有=2p（x≠0），
据此验证5个点知只有（3，）、（4，-4）在统一抛物线上，
易求C₂：y²=4x，
设C₁：=1（a＞b＞0），
把点（-2，0）（）代入得
解得，
∴C₁方程为；
（2）假设存在这样的直线l过抛物线焦点F（1，0），
设其方程为x-1=my，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由，
得=0（*）
由消去x，
得（m²+4）y²+2my-3=0，△=16m²+48＞0，
∴①

②
将①②代入（*）式，得
解得m=±，
∴假设成立，即存在直线l过抛物线焦点F，
l的方程为：2x±y-2=0。