题目

题型：天津月考题难度：来源：

如图，在直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，AD∥BC，AB=4，BC=3，AD=1，以A，B为焦点的椭圆经过点C．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点E（0，1），问是否存在直线l与椭圆交于M，N两点且|ME|=|NE|，若存在，求出直线l的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）∵AB=4，BC=3，AD⊥AB，AD∥BC
∴AC=5
∴CA+CB=8＞AB=4
∴a=4
∵c=2，
∴b²=12
∴椭圆的标准方程为
（2）设直线l：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
将直线l：y=kx+m与椭圆联立可得，消去y得
∴①，
设MN中点F（x₀，y₀），
，
∵ME|=|NE|，
∴EF⊥MN，
∴k_EFk=﹣1，
∴，
∴m=﹣（4k²+3）代入①可得：16k²+12＞（4k²+3）²
∴16k⁴+8k²﹣3＜0
∴
∴