题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的短轴长与焦距相等，且过定点(1，

2

2

)，倾斜角为

π

4

的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求直线l在y轴上截距的取值范围；
（Ⅲ）求△ABP面积的最大值．

答案

（I）由题意可得

2b=2c 1 a2 + 1 2 b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=2，b²=1．
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（II）设直线l的方程为：y=x+m．
联立

y=x+m x2 2 +y2=1

，消去y得到3x²+4mx+2m²-2=0，
由△=16m²-24（m²-1）＞0，得m²＜3，即-

3

＜m＜

3

．
∴直线l在y轴上的取值范围是(-

3

，

3

)．
（III）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．AB中点Q（x₀，y₀）．
则x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2m2-2

3

．
∴y₁+y₂=x₁+x₂+2m=

2m

3

．
∴x0=

x1+x2

2

=-

2m

3

，y0=

y1+y2

2

=

m

3

．
∴Q(-

2m

3

，

m

3

)．
∴AB的垂直平分线的方程为：y-

m

3

=-(x+

2m

3

)．
令y=0，得x=-

m

3

．即P(-

m

3

，0)．
点P到直线AB的距离d=|PQ|=

(- m 3 + 2m 3 )2+(0- m 3 )2

=

2 |m|

3

．
又|AB|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2

(- 4m 3 )2-4× 2m2-2 3

=

4

3

3-m2

．
∴S△ABP=

1

2

|AB|•d=

1

2

×

4

3

3-m2

×

2 |m|

3

=

2 2

9

3m2-m4

=

2 2

9

-(m2- 3 2 )2+ 9 4

．
∵m²＜3，∴当且仅当m2=

3

2

时，△ABP面积取得最大值

2

3

．