题目

题型：0113 期末题难度：来源：

如图，已知点A（0，-3），动点P满足|PA|=2|PO|，其中O为坐标原点，动点P的轨迹为曲线C，过原点O作两条直线分别l₁：y=k₁x，l₂：y=k₂x交曲线C 于点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）、G（x₃，y₃）、H（x₄，
y₄）（其中y₂＞0，y₄＞0）。
（1）求证：；
（2）对于（1）中的E、F、G、H，设EH交x轴于点Q，GF交x轴于点R。求证：|OQ|=|OR|。（证明过程不考虑EH或GF垂直于x轴的情形）

答案

（1）证明：设点P（x，y），
依题意，可得，
整理，得，
故动点P的轨迹方程为，
将直线EF的方程，代入圆C方程，
整理得，
根据根与系数的关系，得，，，……①
将直线GH的方程，代入圆C方程，
同理可得，，，……②
由①、②可得，所以结论成立。
（2）证明：设点，点，
由E、Q、H三点共线，得，解得，
由F、R、G三点共线， 同理可得，
由，

，
即，
。