设抛物线C的方程为x2=4y，M（x0，y0）为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
（1）当M的坐标为（0，-1）时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；
（2）求证：直线AB恒过定点（0，m）． |
（1）当M的坐标为（0，-1）时，设过M点的切线方程为y=kx-1，代入x2=4y，整理得x2-4kx+4=0，
令△=（4k）2-4×4=0，解得k=±1，
代入方程得x=±2，故得A（2，1），B（-2，1），…（2分）
因为M到AB的中点（0，1）的距离为2，
从而过M，A，B三点的圆的方程为x2+（y-1）2=4．
∵圆心坐标为（0，1），半径为2，∴圆与直线l：y=-1相切…（4分）
（2）证法一：设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），过抛物线上点A（x1，y1）的切线方程为(y-)=k(x-x1)，代入x2=4y，整理得x2-4kx+4（kx1-y1）=0△=（4k）2-4×4（kx1-y1）=0，又因为x12=4y1，所以k=…（6分）
从而过抛物线上点A（x1，y1）的切线方程为y-=(x-x1)即y=x-
又切线过点M（x0，y0），所以得y0=x0-①即y0=x0-y1…（8分）
同理可得过点B（x2，y2）的切线为y=x-，
又切线过点M（x0，y0），所以得y0=x0-②…（10分）
即y0=x0-y2…（6分）
即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足y0=x0-y即x0x=2（y0+y），故直线AB的方程为x0x=2（y0+y）…（12分）
又M（x0，y0）为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，故x0x=2（y-m）对任意x0成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）
证法二：设过M（x0，y0）的抛物线的切线方程为y-=k(x-x0)（k≠0），代入x2=4y，消去y，得x2-4kx-4（y0-kx0）=0△=（4k）2+4×4（y0-kx0）=0即：k2+x0k+y0=0…（6分）
从而k1=，k2=此时x1=，x2=
所以切点A，B的坐标分别为A(，)，B(，)…（8分）
因为kAB===，===x0，===，
所以AB的中点坐标为(x0，)…（11分）
故直线AB的方程为y-=(x-x0)，即x0x=2（y0+y）…（12分）
又M（x0，y0）为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，故x0x=2（y-m）对任意x0成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）
证法三：由已知得y=，求导得y=，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），故过点A（x1，y1）的切线斜率为k=，从而切线方程为(y-)=(x-x1)即y=x-
…（7分）
又切线过点M（x0，y0），所以得y0=x0-①即y0=x0-y1…（8分）
同理可得过点B（x2，y2）的切线为y=x-，
又切线过点M（x0，y0），所以得y0=x0-②即y0=x0-y2…（10分）
即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足y0=x0-y即x0x=2（y0+y），故直线AB的方程为x0x=2（y0+y）…（12分）
又M（x0，y0）为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，故x0x=2（y-m）对任意x0成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分） |
核心考点
试题【设抛物线C的方程为x2=4y，M（x0，y0）为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．（1）当M的坐标为】；主要考察你对
直线与圆的位置关系等知识点的理解。
[详细]举一反三
一动圆圆心在抛物线x2=-8y上，且动圆恒与直线y-2=0相切，则动圆必过定点（ ）| A．（4，0） | B．（0，-2） | C．（2，0） | D．（0，-4） |
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| 从抛物线x2=2y上任意一点M向圆C：x2+（y-2）2=1作切线MT，则切线长|MT|的最小值为（ ） |
| 圆（x-a）2+y2=1与直线y=x相切于第三象限，则a的值是（ ） |
已知：椭圆C：+y2=1(a＞1)的上顶点为A，左右焦点为F1，F2，直线AF2与圆M：（x-3）2+（y-1）2=3相切
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的下顶点为B，直线y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M，N，当|BM|=|BN|时，求实数m的取值范围． |
选修4-4：极坐标与参数方程选讲
已知：曲线C的极坐标方程为：ρ=acosθ（a＞0），直线ℓ的参数方程为：（t为参数）
（1）求曲线C与直线ℓ的普通方程；
（2）若直线ℓ与曲线C相切，求a值． |
