题目

题型：江苏期中题难度：来源：

已知圆O：x²+y²=4，圆O与x轴交于A，B两点，过点B的圆的切线为l，P是圆上异于A，B的一点，PH垂直于x轴，垂足为H，E是PH的中点，延长AP，AE分别交l于F，C．
（1）若点P（1，），求以FB为直径的圆的方程，并判断P是否在圆上；
（2）当P在圆上运动时，证明：直线PC恒与圆O相切．

答案

解：（1）证明：由P（1，），A（﹣2，0）
∴直线AP的方程为．
令x=2，得F（2，）．
由E（1，），A（﹣2，0），则直线AE的方程为y=（x+2），
令x=2，得C（2，）．
∴C为线段FB的中点，以FB为直径的圆恰以C为圆心，半径等于．
∴圆的方程为，且P在圆上；
（2）证明：设P（x0，y0），则E（x0，），
则直线AE的方程为在此方程中
令x=2，得C（2，）
直线PC的斜率为=﹣=﹣
若x₀=0，则此时PC与y轴垂直，即PC⊥OP；        
若x₀≠0，则此时直线OP的斜率为，
∵×（﹣）=﹣1
∴PC⊥OP
∴直线PC与圆O相切．