给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点,O为坐标原点. (Ⅰ)设l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程; (Ⅱ)设|FA|=2|BF|,求直线l的方程. |
方法一:(Ⅰ)由题意,得F(1,0),直线l的方程为y=x-1. 由,得x2-6x+1=0, 设A,B两点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M的坐标为M(x0,y0), 则x1=3+2, x2=3-2, y1=x1-1=2+2, y2=x2-1=2-2, 故点A(3+2,2+2), B(3-2,2-2), (3分) 所以x0==3, y0=x0-1=2, 故圆心为M(3,2),直径|AB|==8, 所以以AB为直径的圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16;(6分) (Ⅱ)因为|FA|=2|BF|,三点A,F,B共线且点A,B在点F两侧, 所以=2, 设A,B两点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x1-1,y1), =(1-x2,-y2), 所以 因为点A,B在抛物线C上, 所以y12=4x1,y22=4x2,oac(○,2)(10分) 由oac(○,1)oac(○,2),解得 或 所以A(2,2), B(,-), 或 A(2,-2), B(,),(13分) 故直线l的方程为2x-y-2=0,或2x+y-2=0.(14分) 方法二:(Ⅰ)由题意,得F(1,0),直线l的方程为y=x-1. 由,得x2-6x+1=0, 设A,B两点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M的坐标为M(x0,y0), 因为△=62-4=32>0,所以x1+x2=6,x1x2=1, 所以x0==3, y0=x0-1=2,故圆心为M(3,2),(3分) 由抛物线定义,得|AB|=|AF|+|BF|=(x1+)+(x2+)=x1+x2+p=8, 所以|AB|=x1+x2+p=8(其中p=2). 所以以AB为直径的圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16;(6分) (Ⅱ)因为|FA|=2|BF|,三点A,F,B共线且点A,B在点F两侧, 所以=2, 设A,B两点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x1-1,y1), =(1-x2,-y2), 所以…①((9分)) 设直线AB的方程为y=k(x-1)或x=1(不符合题意,舍去). 由,消去x得ky2-4y-4k=0, 因为直线l与C相交于A,B两点,所以k≠0, 则△=16+16k2>0,y1+y2=, y1y2=-4,…② 由①②,得方程组,解得或(13分) 故直线l的方程为2x-y-2=0,或2x+y-2=0.(14分) |
核心考点
试题【给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点,O为坐标原点.(Ⅰ)设l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;(Ⅱ)设|FA|=2|】;主要考察你对
圆的方程等知识点的理解。
[详细]
举一反三
已知可行域的外接圆C1与x轴交于点A1、A2,椭圆C2以线段A1A2为长轴,离心率e= (1)求圆C1及椭圆C2的方程 (2)设椭圆C2的右焦点为F,点P为圆C1上异于A1、A2的动点,过原点O作直线PF的垂线交直线x=2于点Q,判断直线PQ与圆C1的位置关系,并给出证明. |
若圆C的一般方程是x2+y2+2x-4y-4=0,则其标准方程为______. |
已知点A(4,3)和圆C:(x-2)2+y2=4 (1)求圆C关于点A对称的圆C1的标准方程; (2)求过点A并且与圆C相切的直线方程. |
圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A(-2,0)、B(-4,0),则圆C的方程为______. |
以A(4,9),B(6,-3)为直径的圆的方程是______. |