题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）已知圆：及定点，点是圆上的动点，点在上，点在上，
且满足＝2，·＝.
（1）若，求点的轨迹的方程；
（2）若动圆和（1）中所求轨迹相交于不同两点，是否存在一组正实数，使得直线垂直平分线段，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．

答案

解：（1） 
∴点为的中点，
又，
或点与点重合．
∴           …………2分
又
∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，
且，
∴ 
∴G的轨迹方程是   …………6分
(2)解：不存在这样一组正实数，
下面证明：                        …………7分
由题意，若存在这样的一组正实数，
当直线的斜率存在时，设之为，
故直线的方程为：，
设，中点，
则，两式相减得：
．…………9分
注意到，
且 ，
则 ，     ②
又点在直线上，
，
代入②式得：．
因为弦的中点在⑴所给椭圆内，
故，
这与矛盾，
所以所求这组正实数不存在．                 …………13分
当直线的斜率不存在时，
直线的方程为，
则此时，
代入①式得，
这与是不同两点矛盾.
综上，所求的这组正实数不存在．       …………14分

解析

略