题目
题型:不详难度:来源:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 无法确定
答案
解析
若直线的斜率存在,设为直线方程为y=k(x-1),不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),过AB分别作抛物线准线的垂线,由抛物线的定义,|AF|=x1+1,|DF|=x2+1,把直线方程与抛物线方程联立,消去y可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,利用韦达定理及|AB|=|AF|-|BF|=x1,|CD|=|DF|-|CF|=x2,可求|AB||CD|的值.
解:若直线的斜率不存在,则直线方程为x=1,代入抛物线方程和圆的方程,可直接得到ABCD四个点的坐标为(1,2)(1,1)(1,-1)(1,-2),所以|AB|=1,|CD|=1,从而|AB||CD|=1.
若直线的斜率存在,设为k,因为直线过抛物线的焦点(1,0),则直线方程为y=k(x-1),
不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),过AB分别作抛物线准线的垂线,由抛物线的定义,|AF|=x1+1,|DF|=x2+1,
把直线方程与抛物线方程联立,消去y可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由韦达定理有 x1x2=1
而抛物线的焦点F同时是已知圆的圆心,所以|BF|=|CF|=R=1
从而有|AB|=|AF|-|BF|=x1,|CD|=|DF|-|CF|=x2.
所以|AB||CD|=x1x2=1
故选A.
本题考查圆与抛物线的综合,考查分类讨论的数学思想,考查抛物线的定义,综合性强.
核心考点
举一反三
A. | B.2 | C.3 | D.6 |
,则的长为 .
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