题目
题型:不详难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-2x—3与两条坐标轴的三个交点都在圆C上.若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,
(1)求圆C的方程;
(2)若,求a的值;
(3)若 OA⊥OB,(O为原点),求a的值.
答案
解析
试题分析:(1)曲线y=x2-2x—3与y轴的交点为(0,-3),与x轴的交点为(-1,0),(3,0).
故可设圆C的圆心为(1,t),则有12+(t+3)2=(1+1)2+t2,解得t=.
则圆C的半径为.则以圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
(2) , 圆心C到直线x-y+a=0的距离为
即,解得或
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:.
消去y,得到方程2x2+2ax+a2+2a-3=0. 由已知可得,判别式Δ=24-16a-4a2>0.
从而x1+x2=-a,x1x2=.①
由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,又y1=x1+a,y2=x2+a,
所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.②
由①,②得a=1,,满足Δ>0,故a=-1.
点评:典型题,关于圆的考查,往往以这种“连环题”的形式出现,首先求标准方程,往往不难。而涉及在直线与圆的位置关系,往往要利用韦达定理,实现“整体代换”。本题中利用OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,从而将两根之积代入,方便求解。
核心考点
试题【(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-2x—3与两条坐标轴的三个交点都在圆C上.若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,(1)求圆C的方】;主要考察你对圆的方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
己知圆C: (x – 2 )2 + y 2 =" 9," 直线l:x + y = 0.
(1) 求与圆C相切, 且与直线l平行的直线m的方程;
(2) 若直线n与圆C有公共点,且与直线l垂直,求直线n在y轴上的截距b的取值范围;
已知圆的圆心为,半径为。直线的参数方程为(为参数),且,点的直角坐标为,直线与圆交于两点,求的最小值。
A. | B. |
C. | D. |
(1)求实数的取值范围;
(2)求圆C 的方程;
(3)问圆C 是否经过某定点(其坐标与无关)?请证明你的结论.
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