题目

题型：天津高考真题难度：来源：

设椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，A是椭圆上的一点，AF₂⊥F₁F₂，原点O到直线AF₁的距离为|OF₁|，
（Ⅰ）证明a=b；
（Ⅱ）求t∈（0，b）使得下述命题成立：设圆x²+y²=t²上任意点M（x₀，y₀）处的切线交椭圆于Q₁，Q₂两点，则OQ₁⊥OQ₂。

答案

解：（Ⅰ）由题设及，
不妨设点A（c，y），其中y＞0，
由于点A在椭圆上，有，，
解得，从而得到，
直线的方程为，整理得，
由题设，原点O到直线的距离为，
即，
将代入原式并化简得，即。
 （Ⅱ）圆上的任意点处的切线方程为，
当t∈（0，b）时，圆上的任意点都在椭圆内，
故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点，
因此点的坐标是方程组的解，
当时，由①式得，
代入②式，得，
即，
于是，

，
若，则
，
所以，，
由，得，
在区间（0，b）内此方程的解为，
 当时，必有，同理求得在区间（0，b）内的解为，
另一方面，当时，可推出，从而；
综上所述，使得所述命题成立．