题目

题型：不详难度：来源：

（选做题）在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（B）（选修4-2：矩阵与变换）
二阶矩阵M有特征值λ=8，其对应的一个特征向量e=

1 1

，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成点（-2，4），求矩阵M²．
（C）（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，直线l的参数方程为

x=- 3 t y=1+t

（t为参数，t∈R）．试在曲线C上一点M，使它到直线l的距离最大．

答案

（B）设M=

a b c d

，则由

a-8 b c d-8

 

1 1

=

0 0

，得

a-8+b=0 c+d-8=0

，
即a+b=8，c+d=8．
由

a b c d

-1 2

=

-2 4

，得

-a+2b -c+2d

=

-2 4

，
从而-a+2b=-2，-c+2d=4．
由a+b=8，-a+2b=-2，c+d=8，-c+2d=4解得a=6，b=2，c=4，d=4
∴M=

6 2 4 4

，M2=

6 2 4 4

6 2 4 4

=

44 20 40 24

．
（C）由曲线C的极坐标方程为ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，
可得C的普通方程是x²+3y²=3，
即

x2

3

+y2=1．
由直线l的参数方程为

x=- 3 t y=1+t

（t为参数，t∈R）消去参数td得
直线l的普通方程是x+

3

y-

3

=0．
设点M的坐标是(

3

cosθ，sinθ)，则点M到直线l的距离是
d=

| 3 cosθ+ 3 sinθ- 3 |

2

=

3 | 2 sin(θ+ π 4 )-1|

2

．
当sin(θ+

π

4

)=-1时，
即θ+

π

4

=2kπ+

3π

2

，k∈Z，解得θ=2kπ+

5π

4

，k∈Zd取得最大值，
此时

3

cosθ=-

6

2

，sinθ=-

2

2

，
综上，点M的坐标是(-

6

2

，-

2

2

)时，M到直线l的距离最大．