题目
题型:不详难度:来源:
(1)求圆C的方程;
(2)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
答案
(2)不存在实数,使得过点的直线l垂直平分弦.
解析
(1)设出圆的一般式方程,表示出圆心坐标,把圆心坐标代入到直线x+2y+1=0中得到一个关于D,E及F的方程,然后把M与N的坐标代入所设的圆的方程,得到两个关于E,F及D的方程,三个方程联立即可求出D,E及F的值,确定出圆C的方程;
(2)利用反证法,先假设满足题意得点存在,根据线段垂直平分线的性质得到圆心C必然在直线l上,由点C与点P的坐标求出直线PC的斜率,根据两直线垂直时斜率的乘积为-1,求出直线AB的斜率,进而求出实数a的值,然后由已知直线ax-y+1=0,变形得到y=ax+1,代入(1)中求出的圆C的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,根据直线与圆有两个交点,得到根的判别式大于0,即可求出a的取值范围,发现求出的a的值不在此范围中,故假设错误,则不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.
解:(1)设圆C的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0
则有 …………………2分
解得
∴圆C的方程为:x2+y2-6x+4y+4=0 …………4分
(2)设符合条件的实数存在,
由于l垂直平分弦,故圆心必在l上.
所以l的斜率,
而, 所以. …………5分
把直线ax-y+1="0" 即y="ax" +1.代入圆的方程,
消去,整理得.
由于直线交圆于两点,
故,
即,解得.
则实数的取值范围是.…………………7分
由于,
故不存在实数,使得过点的直线l垂直平分弦.………8分
核心考点
试题【 (本小题8分)已知圆C过点M(0,-2)、N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.(1)求圆C的方程; (2)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两】;主要考察你对点到直线的距离等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)判断直线与圆的位置关系;
(Ⅱ)设点是曲线上的一个动点,若不等式有解,求的取值范围.
A. | B. | C. | D. |
在平面直角坐标系xOy中,曲线与坐标轴的交点都在圆C上。
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)若圆C被直线截得的弦长为,求的值。
A. | B. |
C. | D. |
A. | B. |
C. | D. |
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