题目

题型：不详难度：来源：

设一动点M在x轴正半轴上，过动点M与定点P（1，2）的直线交y=x（x＞0）于点Q，动点M在什么位置时，

1

|PM|

+

1

|PQ|

有最大值，并求出这个最大值．

答案

设l：y=k（x-2）+1，要它与y=x（x＞0）相交，则k＞1或k＜0．
令y=0，得M(2-

1

k

，0)，令y=x，得Q

2k-1 k-1 ，& 2k-1 k-1

．
∴|MP|=

1+k2 k2

，

&|PQ|

=

1+k2 (1-k)2

．
∴u=

1

|PM|

+

1

|PQ|

=

|k|

1+k2

+

|1-k|

1+k2

=

1-2k 1+k2 (k＜0) 2k-1 1+k2 (k＞1)

于是u2=

(1-2k)2

1+k2

⇒(u2-4)k2+4k+u2-1=0．
由△≥0，得u²（u²-5）≤0，
∴0≤u2≤5

，&∴u≤ 5

．
而当l的方程为x=2时，u=2，
∴umax=

5

对应得k=-2，进而求得M(

5

2

，0)．