题目

题型：甘肃省月考题难度：来源：

已知圆内一定点A（1，﹣2），P，Q为圆上的两不同动点．
（1）若P，Q两点关于过定点A的直线l对称，求直线l的方程；
（2）若圆O₂的圆心O₂与点A关于直线x+3y=0对称，圆O₂与圆O₁交于M，N两点，且，求圆O₂的方程．

答案

解：（1）将圆O₁的方程化为标准方程得：x²+（y+1）²=4，
∴O₁（0，﹣1），又P，Q两点关于过定点A的直线l对称，
∴O₁（0，﹣1）在直线l上，又直线l过A（1，﹣2），
∴直线l的方程为y+2=（x﹣1），即x+y+1=0；
（2）设O₂（a，b），
∵O₂与A关于直线x+3y=0对称，且x+3y=0的斜率为﹣，
∴=3①，且+3×=0②，
联立①②解得：a=2，b=1，∴O₂（2，1），
可设圆O₂的方程为：（x﹣2）²+（y+1）²=r²，
又圆O₁的方程为：x²+（y+1）²=4，
∴两圆方程相减，即得两圆公共弦MN所在直线的方程为4x+4y+r²﹣8=0，
∵|MN|=2，圆O₁的半径为2，
∴O₁到直线MN的距离为==，
解得：r²=20或r²=4，
则圆O₂的方程为：（x﹣2）²+（y+1）²=20或（x﹣2）²+（y+1）²=4．