题目

题型：同步题难度：来源：

如图，过点P（2，4） 作两条互相垂直的直线l₁ 、l₂ ，若l₁ 交x 轴于点A ，l₂ 交y 轴于点B ，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.

答案

解：设点M 的坐标为(x ，y) ，  
∵M 为线段AB 的中点，  
∴A 的坐标为（2x ，0 ），B 的坐标为（0，2y）
∵l₁ ⊥l₂ ，且l₁ 、l₂ 过点P（2，4） ，  
∴PA ⊥PB ，k_PA ·k_PB=-1.
而
∴（x≠1）
整理，得x+2y-5 =0 （x ≠1 ）．
∵当x=1 时，A 、B 的坐标分别为（2，0），（0，4），
∴线段AB 的中点M 的坐标是（1，2） ，它满足方程x+2y-5=0 ．
综上所述，线段AB 的中点M 的轨迹方程为x+2y-5=0.