题目

题型：安徽省期中题难度：来源：

已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

答案

解：（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，
故无论k取何值，直线l总过定点（﹣2，1）．
（2）直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，
要使直线l不经过第四象限，则，
解得k的取值范围是k≥0．
（3）依题意，直线l在x轴上的截距为﹣，
在y轴上的截距为1+2k，
∴A（﹣，0），B（0，1+2k），
又﹣＜0且1+2k＞0，
∴k＞0，
故S=|OA||OB|=×（1+2k）=（4k++4）≥（4+4）=4，
当且仅当4k=，即k=时，取等号，S的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣2y+4=0．