题目

题型：不详难度：来源：

已知点,的坐标分别是，.直线,相交于点，且它们的斜率之积为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若过点的两直线和与轨迹都只有一个交点，且,求的值;
(3)在轴上是否存在两个定点,,使得点到点的距离与到点的距离的比恒为,若存在，求出定点,；若不存在，请说明理由.

答案

（1）轨迹的方程为 
（2）
（3）存在定点，或，

解析

试题分析：解： （1）设点的坐标为
由题可知,即，
化简得 ，
所以点的轨迹的方程为                                 4分
（2）分四种情况讨论
情况一：当直线和都与相切时，直线和与轨迹都只有一个交点。
设直线的方程为，即
由可知直线的方程为，即
因为直线和都与相切，所以 解得。             6分
情况二：当直线过点,直线过点时，直线和与轨迹都只有一个交点。
此时直线的斜率，直线的斜率
由知，解得。                                       7分
情况三：当直线过点,直线与相切时，直线和与轨迹都只有一个交点。
直线的斜率，由知直线的斜率
故直线的方程为，即
因为直线与相切，所以 解得。
情况四：当直线过点,直线与相切时，直线和与轨迹都只有一个交点。
直线的斜率，由知直线的斜率
故直线的方程为，即
因为直线与相切，所以 解得。               10分
综上所述：的值为，1，。
（3）假设存在定点,,设，，
则化简整理得（*）         11分
由于满足，故（*）式可化为        12分
故解得或                                
故存在定点，或，，使得点到点的距离与到点的距离的比为。                                                              14分
点评：主要是考查了直线与原点位置关系的运用，以及轨迹方程的求解，属于中档题。