题目

题型：湖南省高考真题难度：来源：

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的圆边形是一个面积为8的正方形（记为Q）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围。

答案

解：（1）依题意，设椭圆C的方程为
焦距为2c，由题设条件知，
所以
故椭圆C的方程式为。 （2）椭圆C的左准线方程为，
所以点P的坐标，
显然直线l的斜率k存在，
所以直线l的方程为，
如图，设点M，N的坐标分别为，
线段MN的中点G
由得①
由
解得， ②
因为是方程①的两根，
所以
于是=

因为≤0
所以点G不可能在y轴的右边
直线，方程分别为
所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为
，
即，
亦即
解得，此时②也成立；
故直线l斜率的取值范围是[，）。