题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线y²=4x的焦点为F．
（Ⅰ）若倾斜角为

π

3

的直线AB过点F且交抛物线于A，B两点，求弦长|AB|；
（Ⅱ）若过点F的直线交抛物线于A，B两点，求线段AB中点M的轨迹方程．

答案

（I）由题意可得，抛物线的焦点F（1，0），由直线的斜角为

π

3

可知直线AB的斜率为

3

∴直线AB的方程为y=

3

(x-1)
联立方程

y= 3 (x-1) y2=4x

可得，3x²-10x+3=0
解可得，x₁=3或x2=

1

3

由抛物线的定义可知，|AB|=|AF|+|BF|=x₁+1+x₂+1=

16

3

（II）设过点F的直线AB得方程为x=ky+1，线段AB中点M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立方程

x=ky+1 y2=4x

可得y²-4ky-4=0
∴y₁+y₂=4k，x₁+x₂=k（y₁+y₂）+2=4k²+2
由中点坐标公式可得，x=

x1+x2

2

=1+2k²，y=

y1+y2

2

=2k
消去k可得点M的轨迹方程，y²=2（x-1）