题目

题型：不详难度：来源：

椭圆C的中心为坐标原点O，点A₁，A₂分别是椭圆的左、右顶点，B为椭圆的上顶点，一个焦点为F（

3

，0），离心率为

3

2

．点M是椭圆C上在第一象限内的一个动点，直线A₁M与y轴交于点P，直线A₂M与y轴交于点Q．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）若把直线MA₁，MA₂的斜率分别记作k₁，k₂，求证：k₁k₂=-

1

4

；
（III） 是否存在点M使|PB|=

1

2

|BQ|，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．

答案

（I）由题意，可设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则c=

3

，

c

a

=

3

2

，
所以a=2，b²=a²-c²=1，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（II）证明：由椭圆C的方程可知，点A₁的坐标为（-2，0），点A₂的坐标为（2，0），
设动点M的坐标为（x₀，y₀），由题意可知0＜x₀＜2，y₀＞0，
直线MA₁的斜率k1=

y0

x0+2

＞0，直线MA₂的斜率k2=

y0

x0-2

＜0，
所以k1k2=

y02

x02-4

，
因为点M（x₀，y₀）在椭圆

x2

4

+y2=1上，
所以

x02

4

+y02=1，即y02=1-

x02

4

，
所以k₁k₂=

1- x02 4

x02-4

=-

1

4

；
（III）设直线MA₁的方程为y=k₁（x+2），令x=0，得y=2k₁，所以点P的坐标为（0，2k₁），
设直线MA₂的方程为y=k₂（x-2），令x=0，得y=-2k₂，所以点Q的坐标为（0，-2k₂），
由椭圆方程可知，点B的坐标为（0，1），
由|PB|=

1

2

|BQ|，得|1-2k1|=

1

2

|-2k2-1|，
由题意，可得1-2k₁=

1

2

（-2k₂-1），
整理得4k₁-2k₂=3，与k₁k₂=-

1

4

联立，消k₁可得2k22+3k₂+1=0，
解得k₂=-1或k2=-

1

2

，
所以直线MA₂的直线方程为y=-（x-2）或y=-

1

2

（x-2），
因为y=-

1

2

（x-2）与椭圆交于上顶点，不符合题意．
把y=-（x-2）代入椭圆方程，得5x²-16x+12=0，
解得x=

6

5

或2，
因为0＜x₀＜2，所以点M的坐标为（

6

5

，

4

5

）．