题目

题型：模拟题难度：来源：

如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE， (1)在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？证明你的结论；
(2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值．

答案

解：(1)线段BC的中点就是满足条件的点P；
证明如下：取AB的中点F，连接DP、PF、EF，
则FP∥AC，，
取AC的中点M，连接EM、EC，
∵AE=AC且∠EAC=60°，
∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC，
∴四边形EMCD是矩形，
∴，
又ED∥AC，
∴ED∥FP且ED=FP，∴四边形EFPD是平行四边形，
∴DP∥EF，
又EF平面EAB，DP平面EAB，
∴DP∥平面EAB。
(2)∵∠BAC=90°，平面EACD⊥平面ABC，
∴以A为原点，直线AB为x轴，直线AC为y轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则z轴在平面EACD内，
设AB=AC=AE=2a，
由已知得B(2a，0，0)，，
∴，
设平面EBD的法向量为n₁=(x，y，z)，则，
∴，取z=2，得平面EBD的一个法向量，
又∵平面ABC的一个法向量n₂=(0，0，1)，
∴。