题目

题型：高考真题难度：来源：

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，D、E分别为BB₁、AC₁的中点，
（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB₁与AC₁的公垂线；
（Ⅱ）设AA₁=AC=AB，求二面角A₁-AD-C₁的大小。

答案

（Ⅰ）证明：设O为AC中点，连结EO，BO，则EOC₁C，
又C₁CB₁B，所以EODB，EOBD为平行四边形，ED∥OB，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，BO面ABC，
故BO⊥平面ACC₁A₁，
∴ED⊥平面ACC₁A₁，ED为异面直线AC₁与BB₁的公垂线。
（Ⅱ）解：连结A₁E，由AA₁=AC=AB可知，A₁ACC₁为正方形，
∴A₁E⊥AC₁，
又由ED⊥平面A₁ACC₁和ED平面ADC₁知平面ADC₁⊥平面A₁ACC₁，
∴A₁E⊥平面ADC₁，作EF⊥AD，垂足为F，连结A₁F，
则A₁F⊥AD，∠A₁FE为二面角A₁-AD-C₁的平面角，
不妨设AA₁=2，则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF=，
tan∠A₁FE=，
∴∠A₁FE=60°，
所以二面角A₁-AD-C₁为60°。