题目

题型：重庆市高考真题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点，
（Ⅰ）试证：CD⊥平面BEF；
（Ⅱ）设PA=k·AB，且二面角E-BD-C的平面角大于30°，求k的取值范围。

答案

（Ⅰ）证明：由已知DFAB且∠DAB为直角，
故ABFD是矩形，从而CD⊥BF，
又PA⊥底面ABCD，CD⊥AD，
故由三垂线定理知CD⊥PD，
在△PDC中，E、F分别为PC、CD的中点，
故EF∥PD，
从而CD⊥EF，
由此得CD⊥面BEF； （Ⅱ）解：如图，连接AC，交BF于G，易知G为AC的中点，
连接EG，则在△PAC中易知EG∥PA，
又因PA⊥底面ABCD，故EG⊥底面ABCD，
在底面ABCD中，过G作GH⊥BD，垂足为H，
连接EH，由三垂线定理知EH⊥BD，
从而∠EHG为二面角E-BD-C的平面角，
设AB=a，则在△PAC中，有，
以下计算GH，考虑底面的平面图（如图2），
连结GD，
因，
故，
在△ABD中，因AB=a，AD=2a，得，
而，
从而得，
因此，
由k＞0知∠EHG是锐角，
故要使∠EHG＞30°，必须，
解之得，k的取值范围为。