题目

题型：广西自治区月考题难度：来源：

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2 ，E，F分别是AD，PC的中点
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP所成二面角的大小．

答案

解：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2 ，E，F分别是AD，PC的中点
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
P（0，0，2），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），E（0，，0），F（1，，1）
（I）由题意得=（2，2 ，﹣2），=（﹣2，，0），=（﹣1，，1），
∵·=﹣4+4+0=0，·=﹣2+4-2=0
∴⊥，⊥
∴PC⊥BF，PC⊥EF，
又∵BF∩EF=F，
∴PC⊥平面BEF
（II）由已知可得向量=（0，2，0）是平面BAP的一个法向量
由（I）得向量=（2，2，﹣2）是平面BEF的一个法向量
设平面BEF与平面BAP所成二面角的大小为θ
则cosθ==
则θ=45°
即平面BEF与平面BAP所成二面角为45°