题目

题型：浙江难度：来源：

如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF=

2

3

FD=4．沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF．
（Ⅰ）求二面角A′-FD-C的余弦值；
（Ⅱ）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长．

答案

（Ⅰ）取线段EF的中点H，连接A′H，因为A′E=A′F及H是EF的中点，所以A′H⊥EF，
又因为平面A′EF⊥平面BEF．
如图建立空间直角坐标系A-xyz
则A′（2，2，2

2

），C（10，8，0），
F（4，0，0），D（10，0，0）．
故

FA′

=（-2，2，2

2

），

FD′

=（6，0，0）．
设

n

=（x，y，z）为平面A′FD的一个法向量，
-2x+2y+2

2

z=0
所以6x=0．


取z=

2

，则

n

=(0，-2，

2

)．
又平面BEF的一个法向量

m

=(0，0，1)，
故cos〈

n

，

m

＞=

n • m

| n |•| m |

=

3

3

．
所以二面角的余弦值为

3

3

（Ⅱ）设FM=x，则M（4+x，0，0），
因为翻折后，C与A重合，所以CM=A′M，
故，(6-x)2+82+02=(-2-x)2+22+(2

2

)2，得x=

21

4

，
经检验，此时点N在线段BC上，
所以FM=

21

4

．
方法二：
（Ⅰ）取线段EF的中点H，AF的中点G，连接A′G，A′H，GH．
因为A′E=A′F及H是EF的中点，
所以A′H⊥EF
又因为平面A′EF⊥平面BEF，
所以A′H⊥平面BEF，


又AF⊂平面BEF，
故A′H⊥AF，
又因为G、H是AF、EF的中点，
易知GH∥AB，
所以GH⊥AF，
于是AF⊥面A′GH，
所以∠A′GH为二面角A′-DH-C的平面角，
在Rt△A′GH中，A′H=2

2

，GH=2，A"G=2

3

所以cos∠A′GH=

3

3

．
故二面角A′-DF-C的余弦值为

3

3

．
（Ⅱ）设FM=x，
因为翻折后，C与A′重合，
所以CM=A′M，
而CM²=DC²+DM²=8²+（6-x）²，
A′M²=A′H²+MH²=A′H²+MG²+GH²=(2

2

)2+（2+x）²+2²，
故(6-x)2+82+02=(-2-x)2+22+(2

2

)2
得x=

21

4

，
经检验，此时点N在线段BC上，
所以FM=

21

4

．