题目

题型：不详难度：来源：

正四面体ABCD边长为2，AO⊥平面BCD，垂足为O，设M为线段AO上一点，且∠BMC=90°，则二面角M-BC-O的余弦值为______．

答案

延长BO，交CD于点N，可得BN⊥CD且N为CD中点．
设正四面体ABCD棱长为1，得等边△ABC中，BN=

3

2

∵AO⊥平面BCD，
∴O为等边△ABC的中心，得BO=

2

3

BN=

3

3

Rt△ABO中，AO=

6

3

设MO=x，则Rt△BOM中，BM=

1 3 +x2

∵∠BMC=90°，得△BMC是等腰直角三角形，
∴BM=AM=

2

2

BC
∴

1 3 +x2

=

2

2

∴MO=

6

6

延长DO，交BC于点E，则DE⊥BC且E为BC中点，连接ME，则∠MEO是二面角M-BC-O的平面角
∵MO=

6

6

，OE=

3

6

∴ME=

( 6 6 )2+( 3 6 )2

=

1

2

∴cos∠MEO=

OE

ME

=

3

3

故答案为

3

3

．