题目

题型：模拟题难度：来源：

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB，点M在侧棱PC上，且CM=2MP，
(1)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值；
(2)求二面角A-PC-D的余弦值．

答案

解：设，
(1)如图，过M作MN⊥AC于N，则MN∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，
∴MN⊥平面ABCD，
则∠MAN为直线AM与平面ABCD所成的角，
∵CM=2MP，CN=2NA，
易知，∴，
又，
∴，
在Rt△AMN中，求得，
所以，直线AM与平面ABCD所成角的正切值为2．
(2)过A作AE⊥PD于E，
∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
∵AE平面PAD，
∴CD⊥AE，∴AE⊥平面PCD，
过A作AF⊥PC于F，连接EF，则∠AFE为二面角A-PC-D的平面角，
易求得，
在Rt△AEF中，求得，
∴，
所以，所求二面角的余弦值为。