题目

题型：四川省期末题难度：来源：

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，AD=CD，把△DAC沿对角线AC折起后如图2所示（点D记为点P），点P在平面ABC上的正投影E落在线段AB上，连接PB．
（1）求直线PC与平面PAB所成的角的大小；
（2）求二面角P﹣AC﹣B的大小的余弦值．

答案

（1）解：在图1中，∵∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，
∴，，∠DAC=60°
∵AD=CD，
∴△DAC为等边三角形．
∴AD=CD=AC=2．
在图2中， ∵点E为点P在平面ABC上的正投影， ∴PE⊥平面ABC．
∵BC平面ABC， ∴PE⊥BC．
∵∠CBA=90°， ∴BC⊥AB．
∵PE∩AB=E，PE平面PAB，AB平面PAB，
∴BC⊥平面PAB．
∴∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角．
在Rt△CBP中，BC=1，PC=DC=2，
∴ ． ∵0°＜∠CPB＜90°， ∴∠CPB=30°．
∴直线PC与平面PAB所成的角为30°．
（2）解：取AC的中点F，连接PF，EF．
∵PA=PC， ∴PF⊥AC．
∵PE⊥平面ABC，AC平面ABC，
∴PE⊥AC．
∵PF∩PE=P，PF平面PEF，PE平面PEF，
∴AC⊥平面PEF．
∵EF平面PEF，
∴EF⊥AC．
∴∠PFE为二面角P﹣AC﹣B的平面角．
在Rt△EFA中，，
∴EF=AFtan30°=，．
在Rt△PFA中，．
在Rt△PEF中，．
∴二面角P﹣AC﹣B的大小的余弦值为.

                             图1                                                            图2