题目

题型：不详难度：来源：

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，下面结论错误的序号是 ______．
①BD∥平面CB₁D₁；
②AC₁⊥BD；
③AC₁⊥平面CB₁D₁；
④异面直线AD与CB₁所成角为60°．

答案

由正方体的性质得，BD∥B₁D₁，所以，BD∥平面CB₁D₁；故①正确．
由正方体的性质得AC⊥BD，而AC是AC₁在底面ABCD内的射影，由三垂线定理知，AC₁⊥BD，故②正确．
由正方体的性质得 BD∥B₁D₁，由②知，AC₁⊥BD，所以，AC₁⊥B₁D₁，同理可证AC₁⊥CB₁，
故AC₁垂直于平面CB₁D₁内的2条相交直线，所以，AC₁⊥平面CB₁D₁ ，故③成立．
异面直线AD与CB₁所成角就是BC与CB₁所成角，故∠BCB₁ 为异面直线AD与CB₁所成角，
等腰直角三角形BCB₁ 中，∠BCB₁=45°，故④不正确．
故答案为：④．