题目

题型：期末题难度：来源：

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，底边AB上有且只有一点M使得平面D₁DM⊥平面D₁MC，
（1）求异面直线C₁C与D₁M的距离；
（2）求二面角M-D₁C-D的正弦值。

答案

解：(1)过D作于H，
∵平面平面且平面平面，
∴DH⊥平面，
∴，
又∵，
∴平面，
∴，
又∵满足条件的M只有一个，
∴以CD为直径的圆必与AB相切，切点为M，M为AB的中点，
∴，
∴CD=2，
∵MC⊥平面，
∴，
又∵，
所以MC为异面直线C₁C与D₁M的公垂线段，
CM的长度为所求距离。
（2）取CD中点E，连结ME，则ME⊥平面，
过M作于F，连结EF，则，
∴∠MFE为二面角的平面角，
又∵ME=1，，
在中，。