题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面，△是等边三角形，， ，是线段的中点．
  
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求四棱锥的体积；
（Ⅲ）求与平面所成角的正弦值．

答案

（1）略（2）（3）

解析

（Ⅰ）证明：因为侧面，平面， 
所以．……………………………………………………………2分
又因为△是等边三角形，是线段的中点，
所以．
因为，
所以平面．…………………………………………………4分
而平面，
所以．……………………………………………………………5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：平面，所以是四棱锥的高．
由，，可得．
因为△是等边三角形，
可求得．
所以．………………9分

（Ⅲ）解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，．
，，．
设为平面的法向量．
由  即
令，可得．………………………12分
设与平面所成的角为．
．
所以与平面所成角的正弦值为． …………………………………14分