题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分分）
在四棱锥中，平面平面，△是等边三角形，底面是边长为的菱形，，是的中点，是的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ) 求证：∥平面；
(Ⅲ) 求直线与平面所成角的余弦值．

答案

略

解析

（Ⅰ）∵E是AD中点，连结PE
∴AB=2，AE=1

∴
∴BE⊥AE
又平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，
∴BE⊥平面PAD，--------------4分
(Ⅱ) 取中点为，连结，，

∵，又∵是△的中位线，
∴，
∴，
∴ 是平行四边形，
∴ ∥，
又 平面，平面，
∴∥平面；------------8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，，
又，是平面内两相交直线，
∴平面，
又由（Ⅱ）知，∥，
∴ 平面，
∴ 是直线与平面所成的角，
易知，在中，
，
∴，
∴．
故直线与平面所成角的余弦值为．--------12分
解法二：容易证明，，两两垂直，建立所示空间直角坐标系（如图）．

易求，则，，，，，，………2分，因为是的中点，则．---2分
（Ⅰ）∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵，是平面内的两相交直线，
∴平面；-----6分
（Ⅱ）取中点为，连结，，则，
∵ ，，
∴ ∥，
∵又 平面，平面，
∴∥平面；------------9分
（Ⅲ）∵轴平面，轴平面，
∴ 平面的法向量为，
∵ ，
设直线与平面所成角为，
∴ ，即 ，
故直线与平面所成角的余弦值为．-----12分