题目

题型：不详难度：来源：

（（本小题满分12分）
如图，已知，，，,．

（Ⅰ）求证：;          
(Ⅱ) 若，求二面角 的余弦值．

答案

证法一(Ⅰ)：如图（1），取的中点M，连接AM，FM，

，  ∴．
，
∴，∴AM∥BE
又∵,,
∴．
∵CF="FD,DM=ME,  " ∴MF∥CE,
又∵,,
∴,   又∵,
∴,  
∵,
∴．-------5分
证法二：如图（2），取CE的中点N，连接FN，BN，

∵，
∴，
∵CF=FD，CN="NE, " ∴ ，，
又，  ∴，，
∴,
∴AF∥BN， 又∵,，
∴．------5分
(Ⅱ)解法一：如图（3）过F作交AD于点P，作PG⊥BE，连接FG．

∵，,
∴
∴∴FG⊥BE（三垂线定理）．
所以，∠PGF就是二面角的平面角．
由，，知△是正三角形，
在Rt△DPF中，, ，∴PA=3，
∴,
∵， ∴
∴在Rt△PGF中，由勾股定理，得,
∴，即二面角的余弦值为．----12分
解法二：以A为原点，分别以AC，AB为轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图（4）所示，则A(0,0,0)，B(0,0,2), ,,于是，有

，，，
设平面BEF的一个法向量为，则
  令，可得，
设平面ABED的一个法向量为，则
  ，可得，
∴
所以，所求的二面角的余弦值为．------12分

解析

略