题目
题型:不详难度:来源:
如图,四棱锥P-ABCD的侧面PAD垂直于底面ABCD,∠ADC=∠BCD=,PA=PD=AD=2BC=2,CD,M在棱PC上,N是AD的中点,二面角M-BN-C为.
(1)求的值;
(2)求直线与平面BMN所成角的大小.网
答案
∵∠ADC=∠BCD=90°,AD=2BC=2,N是AD的中点,∴BN⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD,∴BN⊥平面PAD,
∴BN⊥NE,∠DNE为二面角M-BN-C的平面角,∠DNE=30°.……………3分
∵PA=PD=AD,∴∠PDN=60°,∴∠DEN=90°,∴DE=DP,
∴CM=CP,故=3.…………………………………………………………6分
(Ⅱ)连结BE,由(Ⅰ)的解答可知PE⊥平面BMN,则∠PBE为直线PB与平面BMN所成的角.连结PN,则PN⊥平面ABCD,从而PN⊥BN,
∴PB===,…………………………………………9分
又PE=PD=,∴sin∠PBE==.
所以直线PB与平面MBN所成的角为arcsin.………………………………12分
解法二:
(Ⅰ)建立如图所示的坐标系N—xyz,其中N(0,0,0),A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,,0),D(-1,0,0),P(0,0,).
设=λ(λ>0),则M(,,),于是
=(0,,0),=(,,),………………………………3分
设n=(x,y,z)为面MBN的法向量,则·n=0,·n=0,
∴y=0,-λx+λy+z=0,取n=(,0,λ),
又m=(0,0,1)为面BNC的法向量,由二面角M-BN-C为30°,得
|cosám,nñ|===cos30°=,解得λ=3,
故=3.……………………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ),n=(,0,3)为面MBN的法向量,……………………………8分
设直线PB与平面MBN所成的角为θ,由=(0,,-),得
sinθ=|o(PB,sup5(→________==,
所以直线PB与平面MBN所成的角为arcsin.………………………………12分
解析
核心考点
试题【(本题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的侧面PAD垂直于底面ABCD,∠ADC=∠BCD=,PA=PD=AD=2BC=2,CD,M在棱PC上,N是AD的中点】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
在平面互相垂直,∠ADE=90°,AF∥DE,DE=DA=2AF=2。
(1)求证:AC∥平面BEF;
(2)求四面体BDEF的体积。
(1) 若A1E=5,BF=10,求证:BE∥平面A1FD.
(2) 若BD⊥A1F,求三棱锥A1AB1F的体积.
(1) 求异面直线AB与MD所成角的大小;
(2) 求平面OAB与平面OCD所成二面角的余弦值.
A. | B. |
C. | D. |
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