题目
题型:不详难度:来源:
每个侧面均为正方形,为底边的中点,为侧棱的中点.
(Ⅰ)求证:∥平面;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
答案
解法一:证明:(Ⅰ)设的交点为O,连接,连接.
因为为的中点,为的中点,
所以 ∥且.又是中点,
所以 ∥且,
所以 ∥且.
所以,四边形为平行四边形.所以∥.
又平面,平面,则∥平面. ………………5分
(Ⅱ)因为三棱柱各侧面都是正方形,所以,.
所以平面.
因为平面,所以.
由已知得,所以,
所以平面.
由(Ⅰ)可知∥,所以平面.
所以.
因为侧面是正方形,所以.
又,平面,平面,
所以平面. ………………………………………10分
(Ⅲ)解: 取中点,连接.
在三棱柱中,因为平面,
所以侧面底面.
因为底面是正三角形,且是中点,
所以,所以侧面.
所以是在平面上的射影.
所以是与平面所成角.
. …………………………………………14分
解法二:如图所示,建立空间直角坐标系.
设边长为2,可求得,,
,,,,
,,.
(Ⅰ)易得,,
. 所以, 所以∥.
又平面,平面,则∥平面. ………………5分
(Ⅱ)易得,,,
所以.
所以
又因为,,
所以平面. …………………………………………… 10分
(Ⅲ)设侧面的法向量为,
因为, ,,,
所以,.
由 得解得
不妨令,设直线与平面所成角为.
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为. ………………………14分
解析
核心考点
试题【(本题满分14分)如图,在三棱柱中, 每个侧面均为正方形,为底边的中点,为侧棱的中点.(Ⅰ)求证:∥平面;(Ⅱ)求证:平面;(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值. 】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
已知四棱锥的底面为菱形,且,,与相交于点.
(Ⅰ)求证:底面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)若是上的一点,且,求的值.
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