题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分12分，每一问6分）
如图，弧是半径为的半圆，为直径，点为弧的中点，点和点为线段的三等分点，线段与弧交于点，且，平面外一点满足平面,。

⑴证明：；
⑵ 将（及其内部）绕所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积。

答案

⑴ 证明： 见解析；⑵。

解析

本试题主要是考查了圆内几何性质，以及线面垂直的判定定理，以及关于圆锥的体积的运算的综合运用。
（1）由于为直径，点为弧的中点，，即又平面,平面，，进而得到线面垂直，利用性质定理得到线线垂直的证明。
（2）建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为，，，，利用两点的距离公式得到高的长度，然后求解椎体的体积公式即可。
⑴ 证明： 为直径，点为弧的中点，
，即。………2分
又平面,平面，
，
由平面，……4分
又平面，
。…………………………………………………………………………6分
⑵ 如图所示，建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为，，，，……………………………………7分
设 则由，得
，……………………………………………………………………9分
则，由题设知，所得几何体为圆锥，其底面积为 ，高为。…………………………………………………11分
所以该圆锥的体积为。………………………………12分