题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分12分）在正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E为CC₁的中点．

（1）求证：AC₁∥平面BDE；（2）求异面直线A₁E与BD所成角。

答案

（1）连结AC交BD于O，连接EO因为平行四边形ABCD，
由OE为△AC₁C中位线，得出OE∥AC₁；从而AC₁∥面BDE。
（2）先证BD⊥面A₁AC C₁
证得BD⊥A₁E，A₁E与BD所成角为90⁰。

解析

试题分析：（1）连结AC交BD于O，连接EO因为平行四边形ABCD，
所以O为BD中点，E为CC₁中点
所以OE为△AC₁C中位线，
所以OE∥AC₁-----------3
OE面BDE
AC₁面BDE
AC₁∥面BDE------------6
（2）因正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁
所以BD⊥A₁A，又因BD⊥AC
A₁A∩AC="A" ，A₁A 面A₁AC C₁

B

AC面A₁AC C₁所以BD⊥面A₁AC C₁                           --------9
A₁E面A₁AC C₁
所以BD⊥A₁E-
A₁E与BD所成角为90⁰------12
点评：本题通过考查直线与平面的垂直关系及异面直线所成角的计算，考查空间想像能力、推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化思想，函数与方程思想等．本题中异面直线所成角的确定，通过证明线面垂直完成，值得深思。属中档题。