题目

题型：不详难度：来源：

在如图的直三棱柱中，，点是的中点.

(1)求证：∥平面；
(2)求异面直线与所成的角的余弦值；
(3)求直线与平面所成角的正弦值；

答案

（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明，进而用线面平行的判定定理即可证明；
（2）
（3）

解析

试题分析：因为已知直三棱柱的底面三边分别是3、4、5，
所以两两互相垂直，
如图以为坐标原点,直线分别为轴、轴、轴
建立空间直角标系，                                                     ……2分

则，，.
（1）设与的交点为，连接,则
则 
∴∥， ∵内，平面
∴∥平面 ；                                                  ……4分
（2）∵ ∴，
.                              ……6分
∴；
∴所求角的余弦值为 .                                             ……8分
（3）设平面的一个法向量，则有：
，解得，.                                    ……10分
设直线与平面所成角为. 则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.                 ……12分
（其它方法仿此酌情给分）
点评：解决立体几何问题，可以用判定定理和性质定理，也可以建立空间直角坐标系用向量方法证明，但是用向量方法时，也要依据相应的判定定理和性质定理，定理中需要的条件要一一列举出来，一个也不能少.