题目
题型:不详难度:来源:
已知一四棱锥P-ABCD的三视图如下,E是侧棱PC上的动点。
(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积;
(Ⅱ)当点E在何位置时,BD⊥AE?证明你的结论;
(Ⅲ)若点E为PC的中点,求二面角D-AE-B的大小.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)解:由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,
侧棱PC⊥底面ABCD,且PC="2."
∴----------------------------2分
(Ⅱ) 不论点E在PC上何位置,都有BD⊥AE---------------------------------------3分
证明如下:连结AC,∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面 ∴BD⊥PC-----------5分
又∵∴BD⊥平面PAC
∵不论点E在何位置,都有AE平面PAC
∴不论点E在何位置,都有BD⊥AE ----------------------------------------------7分
(Ⅲ) 解法一:在平面DAE内过点D作DG⊥AE于G,连结BG
∵CD="CB,EC=EC," ∴≌
∴ED="EB," ∵AD=AB ∴△EDA≌△EBA
∴BG⊥EA ∴为二面角D-EA-B的平面角--------------------------10分
∵BC⊥DE, AD∥BC ∴AD⊥DE
在Rt△ADE中==BG
在△DGB中,由余弦定理得
∴=-----------------------12分
[解法二:以点C为坐标原点,CD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示:
则,从
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为
由可得:,
同理得:。令,则,
∴------10分
设二面角D-AE-B的平面角为,则 ∴------12分
点评:二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种:①综合法,综合法的一般步骤是:一作二说三求。②向量法,运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角,但结果往往求不对,出现的问题就是计算错误。
核心考点
试题【(本小题满分12分)已知一四棱锥P-ABCD的三视图如下,E是侧棱PC上的动点。(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积;(Ⅱ)当点E在何位置时,BD⊥AE?证明你的结】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
(I )证明:平面PBC丄平面PAC
(II)若PD =,求二面角A-PB-C的平面角的余弦值.
(I)当点为中点时,求证:∥平面;
(II)当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时,求三棱锥 的体积.
A. | B. | C. | D. |
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