题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:平面⊥平面;
(2)当且为的中点时,求与平面所成角的正弦值.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,
∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥AC,∴AC⊥平面PDB,
又,∴平面AEC⊥平面PDB. (6分)
(Ⅱ)方法一:如图1,设AC∩BD=O,连接OE,
由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角,
∵O,E分别为DB、PB的中点,∴OE∥PD,且OE=PD,
又∵PD⊥底面ABCD, ∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO,
在Rt△AOE中,由PD=AB,
设,则,,∴,于是,
即AE与平面PDB所成角的正弦值为. (12分)
方法二:如图2,以D为原点建立空间直角坐标系D−xyz,
设,AE与平面PDB所成的角为,
则,,,,
于是,所以,
且平面的法向量,所以,
即AE与平面PDB所成角的正弦值为. (12分)
点评:直线和平面成角的重点是研究斜线和平面成角,常规求解是采用“作、证、算”,但角不易作出时,可利用构成三条线段的本质特征求解,即分别求斜线段、射影线段、点A到平面的距离求之.
核心考点
举一反三
(1)求正三棱台ABC-A1B1C1的体积;
(2)求平面EA1B1与平面A1B1C1的夹角的余弦;
(3) 若P是棱A1C1上一点,求CP+PB1的最小值.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)若,且点为线段的中点,求二面角的大小.
(1) ∥ (2) ∥
(3) ∥ (4) ∥
其中正确的是( )
A.(1)与(2) | B.(3)与(4) | C.(1)与(3) | D.(2)与(4) |
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