题目

题型：不详难度：来源：

如图，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB＝BC＝CA＝BD＝2AE，F为CD中点．

（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角C－DE－A的大小．

答案

（Ⅰ）取BC中点G点，连接AG，FG，F，G分别为DC，BC中点，
得到平面ABC⊥平面BCD，
G为 BC中点，且AC=AB，推出AG⊥BC，从而AG⊥平面BCD， EF⊥平面BCD．
（Ⅱ）二面角C－DE－A的大小为 

解析

试题分析：（Ⅰ）取BC中点G点，连接AG，FG，

∵F，G分别为DC，BC中点，
∴FG∥BD且FG＝BD，又AE∥BD且AE＝BD，
∴AE∥FG且AE＝FG，∴四边形EFGA为平行四边形，
∴EF∥AG，∵AE⊥平面ABC，AE∥BD，
BD⊥平面ABC，又∵DB平面BCD，
平面ABC⊥平面BCD，∵G为 BC中点，且AC=AB，
∴AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD，
∴EF⊥平面BCD．              6分
（Ⅱ）取AB的中点O和DE的中点H，分别以、、所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，设，则，，，，，．
设面CDE的法向量，则
取，         8分
取面ABDE的法向量，          10分
由，
故二面角C－DE－A的大小为．                12分
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。